展開する 1/((x+iy)^3-2(x+iy)^2+2(x+iy))

解

展開する

\frac{1}{( x + i y ) ^{3} - 2 ( x + i y ) ^{2} + 2 ( x + i y )}

\frac{x ^{3} + 2 x - 2 x ^{2} + 2 y ^{2} - 3 x y ^{2}}{x ^{6} + y ^{6} + 4 x ^{2} - 4 x ^{5} + 4 y ^{2} - 8 x ^{3} + 8 x ^{4} + 3 x ^{2} y ^{4} + 3 x ^{4} y ^{2} - 4 x y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x y ^{2}} + i \frac{y ^{3} - 2 y - 3 x ^{2} y + 4 x y}{x ^{6} + y ^{6} + 4 x ^{2} - 4 x ^{5} + 4 y ^{2} - 8 x ^{3} + 8 x ^{4} + 3 x ^{2} y ^{4} + 3 x ^{4} y ^{2} - 4 x y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x y ^{2}}

解答ステップ

\frac{1}{( x + i y ) ^{3} - 2 ( x + i y ) ^{2} + 2 ( x + i y )}

(x + i y)^{2} = x^{2} + 2 i x y - y^{2}

= \frac{1}{( x + i y ) ^{3} - 2 ( x ^{2} + 2 i x y - y ^{2} ) + 2 ( x + i y )}

拡張

(x + i y)^{3} - 2 (x^{2} + 2 i x y - y^{2}) + 2 (x + i y) : x^{3} + 3 i x^{2} y - 3 x y^{2} - i y^{3} - 2 x^{2} - 4 i x y + 2 y^{2} + 2 x + 2 i y

= \frac{1}{x ^{3} + 3 i x ^{2} y - 3 x y ^{2} - i y ^{3} - 2 x ^{2} - 4 i x y + 2 y ^{2} + 2 x + 2 i y}

有理化する

\frac{1}{x ^{3} + 3 i x ^{2} y - 3 x y ^{2} - i y ^{3} - 2 x ^{2} - 4 i x y + 2 y ^{2} + 2 x + 2 i y} : \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 2 x - 3 x y ^{2} + i ( y ^{3} + 4 x y - 3 x ^{2} y - 2 y ) + 2 y ^{2}}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}}

= \frac{x ^{3} - 3 x y ^{2} - 2 x ^{2} + 2 y ^{2} + 2 x + i ( y ^{3} + 4 x y - 3 x ^{2} y - 2 y )}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}}

標準的な複素数形式で

\frac{x ^{3} - 3 x y ^{2} - 2 x ^{2} + 2 y ^{2} + 2 x + i ( - 3 x ^{2} y + y ^{3} + 4 x y - 2 y )}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}}

を書き換える:

\frac{x ^{3} - 3 x y ^{2} - 2 x ^{2} + 2 y ^{2} + 2 x}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}} + \frac{- 3 x ^{2} y + y ^{3} + 4 x y - 2 y}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}} i

= \frac{x ^{3} - 3 x y ^{2} - 2 x ^{2} + 2 y ^{2} + 2 x}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}} + \frac{- 3 x ^{2} y + y ^{3} + 4 x y - 2 y}{x ^{6} - 4 x ^{5} + 3 x ^{4} y ^{2} + 8 x ^{4} - 8 x ^{3} y ^{2} - 8 x ^{3} + 3 x ^{2} y ^{4} + 8 x ^{2} y ^{2} + 4 x ^{2} - 4 x y ^{4} - 8 x y ^{2} + y ^{6} + 4 y ^{2}} i