展開する (e^tcos(t)-e^tsin(t)+e^t)^2

解

展開する

(e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t})^{2}

e^{2 t} (2 cos (t) - sin (2 t) - 2 sin (t) + 2)

解答ステップ

(e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t})^{2}

(e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t})^{2} = (e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t}) (e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t})

= (e^{t} + e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t)) (e^{t} + e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t))

拡張

(e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t}) (e^{t} cos (t) - e^{t} sin (t) + e^{t}) : e^{2 t} cos^{2} (t) - 2 e^{2 t} sin (t) cos (t) + 2 e^{2 t} cos (t) + e^{2 t} sin^{2} (t) - 2 e^{2 t} sin (t) + e^{2 t}

= e^{2 t} cos^{2} (t) - 2 e^{2 t} sin (t) cos (t) + 2 e^{2 t} cos (t) + e^{2 t} sin^{2} (t) - 2 e^{2 t} sin (t) + e^{2 t}

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= e^{2 t} + cos^{2} (t) e^{2 t} + sin^{2} (t) e^{2 t} + 2 e^{2 t} cos (t) - 2 e^{2 t} sin (t) - sin (2 t) e^{2 t}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= e^{2 t} (1 - sin (2 t) + 2 cos (t) - 2 sin (t) + 1)

共通項をくくり出す

e^{2 t}

= e^{2 t} (cos^{2} (t) + sin^{2} (t) + 2 cos (t) - 2 sin (t) - sin (2 t) + 1)

= e^{2 t} (2 cos (t) - sin (2 t) - 2 sin (t) + 2)