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展開する (e^x+e^{-x})^8

解

展開する

(e^{x} + e^{- x})^{8}

解

e^{8 x} + 8 e^{6 x} + 28 e^{4 x} + 56 e^{2 x} + 70 + 56 e^{- 2 x} + 28 e^{- 4 x} + 8 e^{- 6 x} + e^{- 8 x}

解答ステップ

(e^{x} + e^{- x})^{8}

2項定理を適用する:

(a + b)^{n} = i = 0 \sum n (i n) a^{(n - i)} b^{i}

a = e^{x}, b = e^{- x}

= i = 0 \sum 8 (i 8) (e^{x})^{(8 - i)} (e^{- x})^{i}

総和を展開する

= \frac{8 !}{0 ! ( 8 - 0 ) !} (e^{x})^{8} (e^{- x})^{0} + \frac{8 !}{1 ! ( 8 - 1 ) !} (e^{x})^{7} (e^{- x})^{1} + \frac{8 !}{2 ! ( 8 - 2 ) !} (e^{x})^{6} (e^{- x})^{2} + \frac{8 !}{3 ! ( 8 - 3 ) !} (e^{x})^{5} (e^{- x})^{3} + \frac{8 !}{4 ! ( 8 - 4 ) !} (e^{x})^{4} (e^{- x})^{4} + \frac{8 !}{5 ! ( 8 - 5 ) !} (e^{x})^{3} (e^{- x})^{5} + \frac{8 !}{6 ! ( 8 - 6 ) !} (e^{x})^{2} (e^{- x})^{6} + \frac{8 !}{7 ! ( 8 - 7 ) !} (e^{x})^{1} (e^{- x})^{7} + \frac{8 !}{8 ! ( 8 - 8 ) !} (e^{x})^{0} (e^{- x})^{8}

簡素化

\frac{8 !}{0 ! ( 8 - 0 ) !} (e^{x})^{8} (e^{- x})^{0} : e^{8 x}

簡素化

\frac{8 !}{1 ! ( 8 - 1 ) !} (e^{x})^{7} (e^{- x})^{1} : 8 e^{6 x}

簡素化

\frac{8 !}{2 ! ( 8 - 2 ) !} (e^{x})^{6} (e^{- x})^{2} : 28 e^{4 x}

簡素化

\frac{8 !}{3 ! ( 8 - 3 ) !} (e^{x})^{5} (e^{- x})^{3} : 56 e^{2 x}

\frac{8 !}{4 ! ( 8 - 4 ) !} (e^{x})^{4} (e^{- x})^{4} = 70

簡素化

\frac{8 !}{5 ! ( 8 - 5 ) !} (e^{x})^{3} (e^{- x})^{5} : 56 e^{- 2 x}

簡素化

\frac{8 !}{6 ! ( 8 - 6 ) !} (e^{x})^{2} (e^{- x})^{6} : 28 e^{- 4 x}

簡素化

\frac{8 !}{7 ! ( 8 - 7 ) !} (e^{x})^{1} (e^{- x})^{7} : 8 e^{- 6 x}

簡素化

\frac{8 !}{8 ! ( 8 - 8 ) !} (e^{x})^{0} (e^{- x})^{8} : e^{- 8 x}

= e^{8 x} + 8 e^{6 x} + 28 e^{4 x} + 56 e^{2 x} + 70 + 56 e^{- 2 x} + 28 e^{- 4 x} + 8 e^{- 6 x} + e^{- 8 x}

人気の例

展開する (-x+1)/(x(x+1))

e x p an d \frac{- x + 1}{x ( x + 1 )}

展開する (xy)/((x+2y)^2)

e x p an d \frac{x y}{( x + 2 y ) ^{2}}

展開する cos(2)(t+pi/2)

e x p an d cos (2) (t + \frac{π}{2})

展開する Z(2x-1)dx(x-1)(x-2)(x-3)

e x p an d Z (2 x - 1) d x (x - 1) (x - 2) (x - 3)

展開する ((x^2+1)(2x+3))/(3x-1)

e x p an d \frac{( x ^{2} + 1 ) ( 2 x + 3 )}{3 x - 1}