inverselaplace (1+s)/((s(s^2+s+1)))

解答

的拉普拉斯逆变换

\frac{1 + s}{( s ( s ^{2} + s + 1 ) )}

H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

求解步骤

L^{- 1} {\frac{1 + s}{( s ( s ^{2} + s + 1 ) )}}

将

\frac{1 + s}{s ( s ^{2} + s + 1 )}

用部份分式展开:

\frac{1}{s} - \frac{s}{s ^{2} + s + 1}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - \frac{s}{s ^{2} + s + 1}}

展开

\frac{s}{s ^{2} + s + 1} : \frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}

= L^{- 1} {\frac{1}{s} - (\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}})}

利用逆拉普拉斯变换的线性特性:

对于函数

f (s), g (s)

和常数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{s}} - L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{s + \frac{1}{2}}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( s + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}}} : e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

= H (t) - e^{- \frac{t}{2}} cos (\frac{3 t}{2}) - \frac{sin ( \frac{3 t}{2} )}{3}

\int \frac{cos ( x )}{( sin ^{2} ( x ) + 25 ) ^{2}} d x

\frac{\partial}{\partial y} (2 x y + y^{2})

x \frac{d y}{d x} + (- 1 + x) y = - x y^{2}

\int \frac{8}{x - 1} d x

\int \frac{10}{x + 1} d x