integral of (x^2)/(x^2+y^2)

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d y

x arctan (\frac{y}{x}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} d y

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x^{2} \cdot \int \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} d y

Wende integrale Substitution an

= x^{2} \cdot \int \frac{1}{x ( u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= x^{2} \frac{1}{x} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{u ^{2} + 1} d u = arctan (u)

= x^{2} \frac{1}{x} arctan (u)

Setze in

u = \frac{y}{x}

ein

= x^{2} \frac{1}{x} arctan (\frac{y}{x})

Vereinfache

x^{2} \frac{1}{x} arctan (\frac{y}{x}) : x arctan (\frac{y}{x})

= x arctan (\frac{y}{x})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x arctan (\frac{y}{x}) + C

\int x \frac{1}{1} d x

\frac{d}{d t} (b sin (wt))

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{3}{x})

\frac{d x}{d t} = - 3 x (x^{2} - 1)

\int \frac{sin ( \frac{π}{x} )}{x ^{2}} d x