integral of sqrt(y^2-x^2)

Lösung

\int y^{2} - x^{2} d x

\frac{1}{2} y^{2} (arcsin (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{y}))) + C

Schritte zur Lösung

\int y^{2} - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int y^{2} cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{2} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= y^{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y^{2} \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= y^{2} \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= y^{2} \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{y} x)

ein

= y^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{y} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{y} x)))

Vereinfache

y^{2} \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{y} x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{y} x))) : \frac{1}{2} y^{2} (arcsin (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{y})))

= \frac{1}{2} y^{2} (arcsin (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{y})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} y^{2} (arcsin (\frac{x}{y}) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{x}{y}))) + C

x \to - 2 lim (25 - 5 x)

d er i v a t i v e f (x) = x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}} + 1

\frac{d}{d x} (x^{2} 5 - x)

d er i v a t i v e x^{4} sec (\frac{5}{x})

z \to 0 lim (\frac{1}{f ( z ) \frac{1}{z}})