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integral of (e^{-x})/(1+e^{-2x)}

解答

\int \frac{e ^{- x}}{1 + e ^{- 2 x}} d x

解答

- arctan (e^{- x}) + C

求解步骤

\int \frac{e ^{- x}}{1 + e ^{- 2 x}} d x

使用换元积分法

= \int - \frac{e ^{\frac{u}{2}}}{2 ( 1 + e ^{u} )} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{e ^{\frac{u}{2}}}{1 + e ^{u}} d u

使用换元积分法

= - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 e ^{v}}{1 + e ^{2 v}} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{e ^{v}}{1 + e ^{2 v}} d v

使用换元积分法

= - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{1 + w ^{2}} d w

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{1 + w ^{2}} d w = arctan (w)

= - \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (w)

代回

= - \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (e^{\frac{- 2 x}{2}})

化简

- \frac{1}{2} \cdot 2 arctan (e^{\frac{- 2 x}{2}}) : - arctan (e^{- x})

= - arctan (e^{- x})

解答补常数

= - arctan (e^{- x}) + C

作图

流行的例子

derivative f(x)=8sin^4(sqrt(x))

d er i v a t i v e f (x) = 8 sin^{4} (x)

derivative of 6x^5-15x^4+10x^3

\frac{d}{d x} (6 x^{5} - 15 x^{4} + 10 x^{3})

(\partial)/(\partial x)(x/(y+5z))

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x}{y + 5 z})

derivative of 3^{5x+2}

\frac{d}{d x} (3^{5 x + 2})

泰勒 (-3x+28)^{5/4}

t a y l or (- 3 x + 28)^{\frac{5}{4}}