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integral from 0 to 2pi of sqrt((1-cos(x))/2)

Lösung

\int_{0}^{2 π} \frac{1 - cos ( x )}{2} d x

4

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{2 π} \frac{1 - cos ( x )}{2} d x

\frac{1 - cos ( x )}{2} = \frac{1}{2} 1 - cos (x)

= \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} 1 - cos (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 π} 1 - cos (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 π} 2 sin^{2} (\frac{x}{2}) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} 2 \cdot \int_{0}^{2 π} sin^{2} (\frac{x}{2}) d x

Wende Exponentenregel an:

a^{2} = ∣ a ∣

= \frac{1}{2} 2 \cdot \int_{0}^{2 π} sin (\frac{x}{2}) d x

Entferne die Extremwerte

= \frac{1}{2} 2 \cdot \int_{0}^{2 π} sin (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} 2 \cdot 2 \cdot \int_{0}^{π} sin (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{2} 2 \cdot 2 [- cos (u)]_{0}^{π}

Vereinfache

\frac{1}{2} 2 \cdot 2 [- cos (u)]_{0}^{π} : 2 [- cos (u)]_{0}^{π}

= 2 [- cos (u)]_{0}^{π}

Berechne die Grenzen:

2

= 2 \cdot 2

Vereinfache

= 4

\int \frac{x ^{2} - 16}{x ^{4}} d x

n = 1 \sum \infty \frac{7}{n ( n + 1 )}

x \to 1 + lim (\frac{1}{x ^{1 - x}})

d er i v a t i v e f (x) = 3 (x + 1)

x \to 3 lim (3 x^{2} - 7 x + 2)