integral of 1/((121+x^2)^2)

Lösung

\int \frac{1}{( 121 + x ^{2} ) ^{2}} d x

\frac{1}{2662} (arctan (\frac{x}{11}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{11}))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 121 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{1331 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{1331} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{1331} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{1331} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{1331} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{1331} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{1331} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{1331} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{11}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{11})))

Vereinfache

\frac{1}{1331} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{11}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{11}))) : \frac{1}{2662} (arctan (\frac{x}{11}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{11})))

= \frac{1}{2662} (arctan (\frac{x}{11}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{11})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2662} (arctan (\frac{x}{11}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{11}))) + C

\int \frac{( x ^{2} + 2 x - 2 )}{x ^{3} - 4 x} d x

\int - 6 e^{- 6 x} d x

\int \frac{3}{1000 + 2 t} d t

x \to 0 + lim (\frac{x - 2}{x})

\frac{d}{d x} (cos (2 x) + sin (2 x) + \frac{1}{5} e^{x})