интеграл от sin(arccos(x))

Решение

\int sin (arccos (x)) d x

\frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C

Шаги решения

\int sin (arccos (x)) d x

Используйте следующую тождественность:

sin (arccos (x)) = 1 - x^{2}

= \int 1 - x^{2} d x

Примените тригонометрическую подстановку

= \int cos^{2} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Делаем обратную замену

u = arcsin (x)

= \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x)))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} (arcsin (x) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x))) + C