integral of (y+4)/(y^3+2y^2+2y)

解

\int \frac{y + 4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y

- arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 + C

解答ステップ

\int \frac{y + 4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y

拡張

\frac{y + 4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} : \frac{y}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} + \frac{4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y + \int \frac{4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y

\int \frac{y}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y = arctan (y + 1)

\int \frac{4}{y ^{3} + 2 y ^{2} + 2 y} d y = 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 - 2 arctan (y + 1)

= arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 - 2 arctan (y + 1)

簡素化

= - arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2

定数を解答に追加する

= - arctan (y + 1) + 2 ln ∣ y ∣ - ln y^{2} + 2 y + 2 + C