integral of sqrt(x^2-49)

Lösung

\int x^{2} - 49 d x

49 (\frac{1}{98} x x^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 49}{7})) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} - 49 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 49 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 49 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 49 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 49 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 49 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{7} x)

ein

= 49 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{7} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{7} x)) tan (arcsec (\frac{1}{7} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{7} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} x)))

Vereinfache

49 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{7} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{7} x)) tan (arcsec (\frac{1}{7} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{7} x)) + sec (arcsec (\frac{1}{7} x))) : 49 (\frac{1}{98} x x^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 49}{7}))

= 49 (\frac{1}{98} x x^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 49}{7}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 49 (\frac{1}{98} x x^{2} - 49 - \frac{1}{2} ln (\frac{x + x ^{2} - 49}{7})) + C

y^{^{''}} + 2 y^{^{'}} + 2 = 0

\int 5 sin (6 π) x d x

\int 6 e^{- 0.2 x} d x

t a y l or sin (3 x), 0

12 (t + 1) (\frac{d y}{d t}) - 8 y = 32 t, y (0) = 2