integral of 3/((x^2+1)^2)

Lösung

\int \frac{3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

\frac{3}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 3 \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( u ) cos ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 3 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 3 \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= 3 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x)))

Vereinfache

3 \cdot \frac{1}{2} (arctan (x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (x))) : \frac{3}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

= \frac{3}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + C

\int \frac{in x}{x ^{2}} d x

\frac{d}{d t} (3 sin^{3} (t))

7 \frac{d y}{d x} = y^{2}

t an g e n t f (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 4, (1, 6)

\frac{d}{d x} (- \frac{6}{5} e^{- 20 x})