integral of 1/(2sin(x)+cos(x)+5)

Lösung

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + cos ( x ) + 5} d x

\frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (2 tan (\frac{x}{2}) + 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + cos ( x ) + 5} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 u ^{2} + 2 u + 3} d u

Vervollständige das Quadrat

2 u^{2} + 2 u + 3 : 2 (u + \frac{1}{2})^{2} + \frac{5}{2}

= \int \frac{1}{2 ( u + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{5}{2}} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{4 v ^{2} + 5} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} + 5} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 5 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2 5} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 2 \cdot \frac{1}{2 5} arctan (w)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2 5} arctan (\frac{2}{5} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2}))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2 5} arctan (\frac{2}{5} (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2})) : \frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (2 tan (\frac{x}{2}) + 1))

= \frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (2 tan (\frac{x}{2}) + 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{5} arctan (\frac{1}{5} (2 tan (\frac{x}{2}) + 1)) + C

\int \frac{1}{y ^{2} + 3 y + 1} d y

\int e^{x} 2^{x} d x

\int x^{2} + 3 x - 4 d x

\int 2 x d x

\int x^{3} (1 - 4 x^{2})^{\frac{3}{2}} d x