integral of (cos(2x))^3

Lösung

\int (cos (2 x))^{3} d x

\frac{1}{2} (sin (2 x) - \frac{sin ^{3} ( 2 x )}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int (cos (2 x))^{3} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2} cos^{3} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int (1 - sin^{2} (u)) cos (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 - v^{2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v - \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= \frac{1}{2} (v - \frac{v ^{3}}{3})

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (sin (2 x) - \frac{sin ^{3} ( 2 x )}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (sin (2 x) - \frac{sin ^{3} ( 2 x )}{3}) + C

\int \frac{4 + 6 x}{1 + x ^{2}} d x

\int \frac{1 + x}{x ^{2} + 1} d x

\int \frac{x ^{2} - 8 x + 1}{x ^{2} + 1} d x

\int (x^{5} - 5 x) d x

\int \frac{x}{e} d x