integral of (x^2e^x)/((x+1)^2)

解

\int \frac{x ^{2} e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} d x

- \frac{1}{e} Ei (x + 1) + e^{x} - \frac{e ^{x}}{x + 1} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2} e ^{x}}{( x + 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{e ^{u - 1} ( u - 1 ) ^{2}}{u ^{2}} d u

拡張

\frac{e ^{u - 1} ( u - 1 ) ^{2}}{u ^{2}} : e^{u - 1} - \frac{2 e ^{u - 1}}{u} + \frac{e ^{u - 1}}{u ^{2}}

= \int e^{u - 1} - \frac{2 e ^{u - 1}}{u} + \frac{e ^{u - 1}}{u ^{2}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{u - 1} d u - \int \frac{2 e ^{u - 1}}{u} d u + \int \frac{e ^{u - 1}}{u ^{2}} d u

\int e^{u - 1} d u = e^{u - 1}

\int \frac{2 e ^{u - 1}}{u} d u = \frac{2}{e} Ei (u)

\int \frac{e ^{u - 1}}{u ^{2}} d u = \frac{1}{e} (- \frac{e ^{u}}{u} + Ei (u))

= e^{u - 1} - \frac{2}{e} Ei (u) + \frac{1}{e} (- \frac{e ^{u}}{u} + Ei (u))

代用を戻す

u = x + 1

= e^{x + 1 - 1} - \frac{2}{e} Ei (x + 1) + \frac{1}{e} (- \frac{e ^{x + 1}}{x + 1} + Ei (x + 1))

簡素化

e^{x + 1 - 1} - \frac{2}{e} Ei (x + 1) + \frac{1}{e} (- \frac{e ^{x + 1}}{x + 1} + Ei (x + 1)) : - \frac{1}{e} Ei (x + 1) + e^{x} - \frac{e ^{x}}{x + 1}

= - \frac{1}{e} Ei (x + 1) + e^{x} - \frac{e ^{x}}{x + 1}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{e} Ei (x + 1) + e^{x} - \frac{e ^{x}}{x + 1} + C