integral of (sin(ax))^2

解

\int (sin (a x))^{2} d x

\frac{1}{2} x - \frac{1}{4 a} sin (2 a x) + C

解答ステップ

\int (sin (a x))^{2} d x

簡素化

= \int sin^{2} (a x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int 1 - cos^{2} (a x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 1 d x - \int cos^{2} (a x) d x

\int 1 d x = x

\int cos^{2} (a x) d x = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2 a} sin (2 a x))

= x - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2 a} sin (2 a x))

簡素化

x - \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2 a} sin (2 a x)) : \frac{1}{2} x - \frac{1}{4 a} sin (2 a x)

= \frac{1}{2} x - \frac{1}{4 a} sin (2 a x)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} x - \frac{1}{4 a} sin (2 a x) + C