интеграл от 1/(e^x+9e^{-x)}

Решение

\int \frac{1}{e ^{x} + 9 e ^{- x}} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{e ^{x}}{3}) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{e ^{x} + 9 e ^{- x}} d x

коэффициент

\frac{1}{e ^{x} + 9 e ^{- x}}

= \int \frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 9 )} d x

Примените правило возведения в степень:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 9 )} = e^{x} \frac{1}{( e ^{2 x} + 9 )}

= \int e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 9} d x

Упростить

e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 9} : \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9}

= \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{u ^{2} + 9} d u

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{3} arctan (v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{3} arctan (\frac{e ^{x}}{3})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{3} arctan (\frac{e ^{x}}{3}) + C