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integral of cos(at)e^{-st}

解答

\int cos (a t) e^{- s t} d t

解答

\frac{a e ^{- s t} sin ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

求解步骤

\int cos (a t) e^{- s t} d t

使用分布积分法

= e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - \int - s e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) d t

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s t} sin (a t) d t)

化简

- s \frac{1}{a} : - \frac{s}{a}

= e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s t} sin (a t) d t)

使用分布积分法

= e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \int s e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) d t))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - s \frac{1}{a} \cdot \int e^{- s t} cos (a t) d t))

化简

s \frac{1}{a} : \frac{s}{a}

= e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s t} cos (a t) d t))

因此

\int e^{- s t} cos (a t) d t = e^{- s t} \frac{1}{a} sin (a t) - (- \frac{s}{a} (- e^{- s t} \frac{1}{a} cos (a t) - \frac{s}{a} \cdot \int e^{- s t} cos (a t) d t))

整理

\int e^{- s t} cos (a t) d t

= \frac{a e ^{- s t} sin ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}}

解答补常数

= \frac{a e ^{- s t} sin ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} - \frac{s e ^{- s t} cos ( a t )}{a ^{2} + s ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of e^x+1/(4x)

\int e^{x} + \frac{1}{4 x} d x

integral of-2/((2x+1)^2)

\int - \frac{2}{( 2 x + 1 ) ^{2}} d x

integral of sqrt(1+e^2)

\int 1 + e^{2} d x

integral of ((x+2)^2)/(x^2)

\int \frac{( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2}} d x

integral of 1/(x^4-81)

\int \frac{1}{x ^{4} - 81} d x