integral of 1/(5+x+x^2)

Lösung

\int \frac{1}{5 + x + x ^{2}} d x

\frac{2}{19} arctan (\frac{2 x + 1}{19}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{5 + x + x ^{2}} d x

Vervollständige das Quadrat

5 + x + x^{2} : (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{19}{4}

= \int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{19}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 19} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 19} d u

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 19 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 19} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 19} arctan (v)

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2 19} arctan (\frac{2}{19} (x + \frac{1}{2}))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2 19} arctan (\frac{2}{19} (x + \frac{1}{2})) : \frac{2}{19} arctan (\frac{2 x + 1}{19})

= \frac{2}{19} arctan (\frac{2 x + 1}{19})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{19} arctan (\frac{2 x + 1}{19}) + C

\int 4 u d u

\int - 3 cos (x) - 2 sin (x) d x

\int \frac{8}{x x ^{2} - 9} d x

\int \frac{x ^{4} + x ^{3} + x + 5}{x + 1} d x

\int \frac{1}{2 + sin ( θ ) + cos ( θ )} d θ