integral of (3x^3+x^2+5x+1)/(x^3+x)

解

\int \frac{3 x ^{3} + x ^{2} + 5 x + 1}{x ^{3} + x} d x

\frac{3 x ^{3}}{x ^{2} + 1} + 2 arctan (x) + \frac{3 x}{x ^{2} + 1} + ln ∣ x ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{3 x ^{3} + x ^{2} + 5 x + 1}{x ^{3} + x} d x

拡張

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} + 5 x + 1}{x ^{3} + x} : \frac{3 x ^{3}}{x ^{3} + x} + \frac{x ^{2}}{x ^{3} + x} + \frac{5 x}{x ^{3} + x} + \frac{1}{x ^{3} + x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 x ^{3}}{x ^{3} + x} d x + \int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + x} d x + \int \frac{5 x}{x ^{3} + x} d x + \int \frac{1}{x ^{3} + x} d x

\int \frac{3 x ^{3}}{x ^{3} + x} d x = 3 (\frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} - arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}})

\int \frac{x ^{2}}{x ^{3} + x} d x = \frac{1}{2} ln x^{2} + 1

\int \frac{5 x}{x ^{3} + x} d x = 5 arctan (x)

\int \frac{1}{x ^{3} + x} d x = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1

= 3 (\frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} - arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + 5 arctan (x) + ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1

簡素化

3 (\frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} - arctan (x) + \frac{x}{1 + x ^{2}}) + \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 + 5 arctan (x) + ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 1 : \frac{3 x ^{3}}{x ^{2} + 1} + 2 arctan (x) + \frac{3 x}{x ^{2} + 1} + ln ∣ x ∣

= \frac{3 x ^{3}}{x ^{2} + 1} + 2 arctan (x) + \frac{3 x}{x ^{2} + 1} + ln ∣ x ∣

定数を解答に追加する

= \frac{3 x ^{3}}{x ^{2} + 1} + 2 arctan (x) + \frac{3 x}{x ^{2} + 1} + ln ∣ x ∣ + C