integral of x^2sqrt(r^2-x^2)

Lösung

\int x^{2} r^{2} - x^{2} d x

\frac{1}{8} r^{4} (arcsin (\frac{x}{r}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{r}))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} r^{2} - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int r^{4} sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= r^{4} \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= r^{4} \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= r^{4} \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= r^{4} \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= r^{4} \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{r} x)

ein

= r^{4} \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{r} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{r} x)))

Vereinfache

r^{4} \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{r} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{r} x))) : \frac{1}{8} r^{4} (arcsin (\frac{x}{r}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{r})))

= \frac{1}{8} r^{4} (arcsin (\frac{x}{r}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{r})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} r^{4} (arcsin (\frac{x}{r}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{r}))) + C

\int tan (x) \cdot (sec (x))^{2} d x

\int (38 - 5 x) - 28 d x

\int \frac{x ^{9} - 1}{x ^{4}} d x

\int \frac{1}{x ^{3} ln ( x )} d x

\int \frac{x ^{2} - 4 x + 1}{x ^{2} + 1} d x