integral of (x^3+2x^2+x-1)e^{-5x}

解

\int (x^{3} + 2 x^{2} + x - 1) e^{- 5 x} d x

- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{13}{25} e^{- 5 x} x^{2} - \frac{51}{125} e^{- 5 x} x + \frac{74}{625} e^{- 5 x} + C

解答ステップ

\int (x^{3} + 2 x^{2} + x - 1) e^{- 5 x} d x

拡張

(x^{3} + 2 x^{2} + x - 1) e^{- 5 x} : e^{- 5 x} x^{3} + 2 e^{- 5 x} x^{2} + e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}

= \int e^{- 5 x} x^{3} + 2 e^{- 5 x} x^{2} + e^{- 5 x} x - e^{- 5 x} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- 5 x} x^{3} d x + \int 2 e^{- 5 x} x^{2} d x + \int e^{- 5 x} x d x - \int e^{- 5 x} d x

\int e^{- 5 x} x^{3} d x = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}))

\int 2 e^{- 5 x} x^{2} d x = - \frac{2}{125} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}))

\int e^{- 5 x} x d x = \frac{1}{25} (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x})

\int e^{- 5 x} d x = - \frac{1}{5} e^{- 5 x}

= - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x})) - \frac{2}{125} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x})) + \frac{1}{25} (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}) - (- \frac{1}{5} e^{- 5 x})

簡素化

- \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{3}{625} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x})) - \frac{2}{125} (25 e^{- 5 x} x^{2} - 2 (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x})) + \frac{1}{25} (- 5 e^{- 5 x} x - e^{- 5 x}) - (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) : - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{13}{25} e^{- 5 x} x^{2} - \frac{51}{125} e^{- 5 x} x + \frac{74}{625} e^{- 5 x}

= - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{13}{25} e^{- 5 x} x^{2} - \frac{51}{125} e^{- 5 x} x + \frac{74}{625} e^{- 5 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x^{3} - \frac{13}{25} e^{- 5 x} x^{2} - \frac{51}{125} e^{- 5 x} x + \frac{74}{625} e^{- 5 x} + C