integral of (x-x^2)e^{3x}

解

\int (x - x^{2}) e^{3 x} d x

- \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{3 x} x - \frac{5}{27} e^{3 x} + C

解答ステップ

\int (x - x^{2}) e^{3 x} d x

拡張

(x - x^{2}) e^{3 x} : e^{3 x} x - e^{3 x} x^{2}

= \int e^{3 x} x - e^{3 x} x^{2} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} x d x - \int e^{3 x} x^{2} d x

\int e^{3 x} x d x = \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x})

\int e^{3 x} x^{2} d x = \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x})

= \frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x}) - (\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x}))

簡素化

\frac{1}{9} (e^{3 x} \cdot 3 x - e^{3 x}) - (\frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} - \frac{2}{27} (3 e^{3 x} x - e^{3 x})) : - \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{3 x} x - \frac{5}{27} e^{3 x}

= - \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{3 x} x - \frac{5}{27} e^{3 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} e^{3 x} x^{2} + \frac{5}{9} e^{3 x} x - \frac{5}{27} e^{3 x} + C