integral of sin^5(3x)*cos^2(3x)

Lösung

\int sin^{5} (3 x) \cdot cos^{2} (3 x) d x

\frac{1}{3} (- \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{2 cos ^{5} ( 3 x )}{5} - \frac{cos ^{7} ( 3 x )}{7}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{5} (3 x) cos^{2} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{5} (u) cos^{2} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{5} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) cos^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int - v^{2} (1 - v^{2})^{2} d v

Multipliziere aus

- v^{2} (1 - v^{2})^{2} : - v^{2} + 2 v^{4} - v^{6}

= \frac{1}{3} \cdot \int - v^{2} + 2 v^{4} - v^{6} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int v^{2} d v + \int 2 v^{4} d v - \int v^{6} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int 2 v^{4} d v = \frac{2 v ^{5}}{5}

\int v^{6} d v = \frac{v ^{7}}{7}

= \frac{1}{3} (- \frac{v ^{3}}{3} + \frac{2 v ^{5}}{5} - \frac{v ^{7}}{7})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{2 cos ^{5} ( 3 x )}{5} - \frac{cos ^{7} ( 3 x )}{7})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{2 cos ^{5} ( 3 x )}{5} - \frac{cos ^{7} ( 3 x )}{7}) + C

\int \frac{2}{9 - ( x + 3 ) ^{2}} d x

\int x (e^{x} + 1) d x

\int - x y^{2} d x

\int \frac{12}{x ^{2} + 9} d x

\int \frac{( x ^{3} - 8 )}{x - 2} d x