integral from 0 to pi/2 of (sin(3x))/(e^{2x)}

解答

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin ( 3 x )}{e ^{2 x}} d x

\frac{2}{13 e ^{π}} + \frac{3}{13}

十进制

0.23741 \dots

求解步骤

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{sin ( 3 x )}{e ^{2 x}} d x

使用分布积分法

= [\frac{1}{2} (- e^{- 2 x} sin (3 x) - 2 \cdot \int - \frac{3}{2} e^{- 2 x} cos (3 x) d x)]_{0}^{\frac{π}{2}}

\int - \frac{3}{2} e^{- 2 x} cos (3 x) d x = - \frac{3}{26} (3 e^{- 2 x} sin (3 x) - 2 e^{- 2 x} cos (3 x))

= [\frac{1}{2} (- e^{- 2 x} sin (3 x) - 2 (- \frac{3}{26} (3 e^{- 2 x} sin (3 x) - 2 e^{- 2 x} cos (3 x))))]_{0}^{\frac{π}{2}}

化简

[\frac{1}{2} (- e^{- 2 x} sin (3 x) - 2 (- \frac{3}{26} (3 e^{- 2 x} sin (3 x) - 2 e^{- 2 x} cos (3 x))))]_{0}^{\frac{π}{2}} : [- \frac{1}{13} e^{- 2 x} (2 sin (3 x) + 3 cos (3 x))]_{0}^{\frac{π}{2}}

= [- \frac{1}{13} e^{- 2 x} (2 sin (3 x) + 3 cos (3 x))]_{0}^{\frac{π}{2}}

带入上下限计算后得:

\frac{2}{13 e ^{π}} + \frac{3}{13}

= \frac{2}{13 e ^{π}} + \frac{3}{13}

\int_{1}^{3} (\frac{x ^{2} + 5}{x}) d x

\int_{- 5}^{5} ∣ x + 3 ∣ d x

\int_{- 10}^{8} 80 - 2 x - x^{2} d x

\int_{8}^{12} ln (\frac{x}{2} - 3) d x

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{sin ( x )} d x