integral from 3 to e^x of (y^3sin(y))

解

\int_{3}^{e^{x}} (y^{3} sin (y)) d y

- e^{3 x} cos (e^{x}) + 3 e^{2 x} sin (e^{x}) + 6 e^{x} cos (e^{x}) - 6 sin (e^{x}) + 9 cos (3) - 21 sin (3)

解答ステップ

\int_{3}^{e^{x}} y^{3} sin (y) d y

部分積分を適用する

= [- y^{3} cos (y) - \int - 3 y^{2} cos (y) d y]_{3}^{e^{x}}

\int - 3 y^{2} cos (y) d y = - 3 (y^{2} sin (y) - 2 (- y cos (y) + sin (y)))

= [- y^{3} cos (y) - (- 3 (y^{2} sin (y) - 2 (- y cos (y) + sin (y))))]_{3}^{e^{x}}

簡素化

= [- y^{3} cos (y) + 3 (y^{2} sin (y) - 2 (- y cos (y) + sin (y)))]_{3}^{e^{x}}

限度を計算する:

- e^{3 x} cos (e^{x}) + 3 e^{2 x} sin (e^{x}) + 6 e^{x} cos (e^{x}) - 6 sin (e^{x}) + 9 cos (3) - 21 sin (3)

= - e^{3 x} cos (e^{x}) + 3 e^{2 x} sin (e^{x}) + 6 e^{x} cos (e^{x}) - 6 sin (e^{x}) + 9 cos (3) - 21 sin (3)