integral x^2sqrt(a^2-x^2)

Lösung

integral

x^{2} a^{2} - x^{2}

\frac{1}{8} a^{4} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} a^{2} - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int a^{4} sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{4} \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= a^{4} \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= a^{4} \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= a^{4} \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= a^{4} \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{a} x)

ein

= a^{4} \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{a} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{a} x)))

Vereinfache

a^{4} \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{a} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{a} x))) : \frac{1}{8} a^{4} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{a})))

= \frac{1}{8} a^{4} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{a})))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{8} a^{4} (arcsin (\frac{x}{a}) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{x}{a}))) + C

in t e g r a l \frac{sin ( x )}{2}

in t e g r a l \frac{1}{( x ^{4} + 1 )}

in t e g r a l ln (1 + x)

in t e g r a l 3 t + 4

in t e g r a l \frac{x ^{2}}{( x + 1 )}