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人気のある微分積分 >

integral of 1/(x+2sqrt(x)+3)

解

\int \frac{1}{x + 2 x + 3} d x

解

ln x + 2 x + 3 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{x + 2 x + 3} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{2 u}{u ^{2} + 2 u + 3} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{u}{u ^{2} + 2 u + 3} d u

平方完成する

u^{2} + 2 u + 3 : (u + 1)^{2} + 2

= 2 \cdot \int \frac{u}{( u + 1 ) ^{2} + 2} d u

u置換積分法を適用する

= 2 \cdot \int \frac{v - 1}{v ^{2} + 2} d v

拡張

\frac{v - 1}{v ^{2} + 2} : \frac{v}{v ^{2} + 2} - \frac{1}{v ^{2} + 2}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{v}{v ^{2} + 2} d v - \int \frac{1}{v ^{2} + 2} d v)

\int \frac{v}{v ^{2} + 2} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} + 2

\int \frac{1}{v ^{2} + 2} d v = \frac{1}{2} arctan (\frac{v}{2})

= 2 (\frac{1}{2} ln v^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{v}{2}))

代用を戻す

= 2 (\frac{1}{2} ln (x + 1)^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 1}{2}))

簡素化

2 (\frac{1}{2} ln (x + 1)^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 1}{2})) : ln x + 2 x + 3 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1))

= ln x + 2 x + 3 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1))

定数を解答に追加する

= ln x + 2 x + 3 - 2 arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

グラフ

人気の例

integral of (sqrt(x^2-4))/(3x^3)

\int \frac{x ^{2} - 4}{3 x ^{3}} d x

integral of (e^x(x^2+1))/((x+1)^2)

\int \frac{e ^{x} ( x ^{2} + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} d x

integral of x(2^x)

\int x (2^{x}) d x

integral of 30sin(4x-2)cos(x+1)

\int 30 sin (4 x - 2) cos (x + 1) d x

integral of e^{(x^3-6x)}(x^2-2)

\int e^{(x^{3} - 6 x)} (x^{2} - 2) d x