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人気のある微分積分 >

integral of x/(x^2-4x+1)

解

\int \frac{x}{x ^{2} - 4 x + 1} d x

解

\frac{1}{2} ln x^{2} - 4 x + 1 - \frac{1}{3} (ln \frac{1}{3} (x - 2) + 1 - ln \frac{1}{3} (x - 2) - 1) + C

解答ステップ

\int \frac{x}{x ^{2} - 4 x + 1} d x

平方完成する

x^{2} - 4 x + 1 : (x - 2)^{2} - 3

= \int \frac{x}{( x - 2 ) ^{2} - 3} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u + 2}{u ^{2} - 3} d u

拡張

\frac{u + 2}{u ^{2} - 3} : \frac{u}{u ^{2} - 3} + \frac{2}{u ^{2} - 3}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u}{u ^{2} - 3} d u + \int \frac{2}{u ^{2} - 3} d u

\int \frac{u}{u ^{2} - 3} d u = \frac{1}{2} ln u^{2} - 3

\int \frac{2}{u ^{2} - 3} d u = - \frac{1}{3} (ln \frac{u}{3} + 1 - ln \frac{u}{3} - 1)

= \frac{1}{2} ln u^{2} - 3 - \frac{1}{3} (ln \frac{u}{3} + 1 - ln \frac{u}{3} - 1)

代用を戻す

u = x - 2

= \frac{1}{2} ln (x - 2)^{2} - 3 - \frac{1}{3} (ln \frac{x - 2}{3} + 1 - ln \frac{x - 2}{3} - 1)

簡素化

\frac{1}{2} ln (x - 2)^{2} - 3 - \frac{1}{3} (ln \frac{x - 2}{3} + 1 - ln \frac{x - 2}{3} - 1) : \frac{1}{2} ln x^{2} - 4 x + 1 - \frac{1}{3} (ln \frac{1}{3} (x - 2) + 1 - ln \frac{1}{3} (x - 2) - 1)

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 4 x + 1 - \frac{1}{3} (ln \frac{1}{3} (x - 2) + 1 - ln \frac{1}{3} (x - 2) - 1)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln x^{2} - 4 x + 1 - \frac{1}{3} (ln \frac{1}{3} (x - 2) + 1 - ln \frac{1}{3} (x - 2) - 1) + C

グラフ

人気の例

integral of (2x+4)/((x^2-5x+6))

\int \frac{2 x + 4}{( x ^{2} - 5 x + 6 )} d x

integral of tanh^3(x)

\int tanh^{3} (x) d x

integral of 3x^5(x^3+2)^{15}

\int 3 x^{5} (x^{3} + 2)^{15} d x

integral of ((2x^2+x^2sqrt(x)-1)/(x^2))

\int (\frac{2 x ^{2} + x ^{2} x - 1}{x ^{2}}) d x

integral of (6x^{1/5}+10)

\int (6 x^{\frac{1}{5}} + 10) d x