integral of ((tan(x))/(sec(x)))^5

Lösung

\int (\frac{tan ( x )}{sec ( x )})^{5} d x

- cos (x) + \frac{2 cos ^{3} ( x )}{3} - \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + C

Schritte zur Lösung

\int (\frac{tan ( x )}{sec ( x )})^{5} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - cos^{2} (x))^{2} sin (x) d x

Wende U-Substitution an

= \int - 1 + 2 u^{2} - u^{4} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int 1 d u + \int 2 u^{2} d u - \int u^{4} d u

\int 1 d u = u

\int 2 u^{2} d u = \frac{2 u ^{3}}{3}

\int u^{4} d u = \frac{u ^{5}}{5}

= - u + \frac{2 u ^{3}}{3} - \frac{u ^{5}}{5}

Setze in

u = cos (x)

ein

= - cos (x) + \frac{2 cos ^{3} ( x )}{3} - \frac{cos ^{5} ( x )}{5}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - cos (x) + \frac{2 cos ^{3} ( x )}{3} - \frac{cos ^{5} ( x )}{5} + C

\int - 8 x cos (7 x) d x

\int \frac{e ^{- 2 x}}{e ^{- 4 x} + 4} d x

\int cos (7 x) (11 + sin (7 x))^{5} d x

\int \frac{1}{y + 4 y} d y

\int \frac{4 sin ( 3 y ) - 6}{cos ( 3 y )} d y