integral of ln(1+sqrt(1-x^2))

Lösung

\int ln (1 + 1 - x^{2}) d x

x ln (1 + 1 - x^{2}) - (- arcsin (x) + x) + C

Schritte zur Lösung

\int ln (1 + 1 - x^{2}) d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int ln (1 + cos (u)) cos (u) d u

Wende die partielle Integration an

= ln (1 + cos (u)) sin (u) - \int - 1 + cos (u) d u

\int - 1 + cos (u) d u = - u + sin (u)

= ln (1 + cos (u)) sin (u) - (- u + sin (u))

Setze in

u = arcsin (x)

ein

= ln (1 + cos (arcsin (x))) sin (arcsin (x)) - (- arcsin (x) + sin (arcsin (x)))

Vereinfache

ln (1 + cos (arcsin (x))) sin (arcsin (x)) - (- arcsin (x) + sin (arcsin (x))) : x ln (1 + 1 - x^{2}) - (- arcsin (x) + x)

= x ln (1 + 1 - x^{2}) - (- arcsin (x) + x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= x ln (1 + 1 - x^{2}) - (- arcsin (x) + x) + C

\int \frac{2 x}{( 3 - 4 x ^{2} ) ^{2}} d x

\int 1 + \frac{( 4 x ^{4} - 1 ) ^{2}}{16 x ^{4}} d x

\int (x^{2} - x (4 x - 2)) d x

\int \frac{2 e ^{x}}{e ^{3 x} + 2 e ^{x}} d x

\int (x^{- 1} + 3)^{3} d x