integral of (sin^5(3x))/(cos^{14)(3x)}

Lösung

\int \frac{sin ^{5} ( 3 x )}{cos ^{14} ( 3 x )} d x

\frac{sec ^{13} ( 3 x )}{39} - \frac{2 sec ^{11} ( 3 x )}{33} + \frac{sec ^{9} ( 3 x )}{27} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ^{5} ( 3 x )}{cos ^{14} ( 3 x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{tan ^{5} ( 3 x )}{cos ^{9} ( 3 x )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= \int sec^{9} (3 x) tan^{5} (3 x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (- 1 + sec^{2} (3 x))^{2} tan (3 x) sec^{9} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u ^{8} ( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{3} d u

Multipliziere aus

\frac{u ^{8} ( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{3} : \frac{u ^{12}}{3} - \frac{2 u ^{10}}{3} + \frac{u ^{8}}{3}

= \int \frac{u ^{12}}{3} - \frac{2 u ^{10}}{3} + \frac{u ^{8}}{3} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u ^{12}}{3} d u - \int \frac{2 u ^{10}}{3} d u + \int \frac{u ^{8}}{3} d u

\int \frac{u ^{12}}{3} d u = \frac{u ^{13}}{39}

\int \frac{2 u ^{10}}{3} d u = \frac{2 u ^{11}}{33}

\int \frac{u ^{8}}{3} d u = \frac{u ^{9}}{27}

= \frac{u ^{13}}{39} - \frac{2 u ^{11}}{33} + \frac{u ^{9}}{27}

Setze in

u = sec (3 x)

ein

= \frac{sec ^{13} ( 3 x )}{39} - \frac{2 sec ^{11} ( 3 x )}{33} + \frac{sec ^{9} ( 3 x )}{27}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{sec ^{13} ( 3 x )}{39} - \frac{2 sec ^{11} ( 3 x )}{33} + \frac{sec ^{9} ( 3 x )}{27} + C

\int 10 x sin (x) cos (x) d x

\int 5 x^{3} - 2 x d x

\int sin^{8} (\frac{3}{4}) x cos^{6} (\frac{3}{4}) x d x

\int - 5 x^{2} e^{3 x} d x

\int \frac{( 6 - 2 x )}{8 - 4 x - 4 x ^{2}} d x