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integral of sqrt(y^2+4y)

Lösung

\int y^{2} + 4 y d y

4 - ln (\frac{1}{2} y^{2} + 4 y + y + 2) + \frac{1}{8} (y + 2) y^{2} + 4 y + \frac{1}{2} ln \frac{y ^{2} + 4 y + y + 2}{2} + C

Schritte zur Lösung

\int y^{2} + 4 y d y

Vervollständige das Quadrat

y^{2} + 4 y : (y + 2)^{2} - 4

= \int (y + 2)^{2} - 4 d y

Wende U-Substitution an

= \int u^{2} - 4 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 4 tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 4 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 4 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= 4 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) tan (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))))

Vereinfache

4 (- ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) tan (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2))) + sec (arcsec (\frac{1}{2} (y + 2)))) : 4 - ln (\frac{1}{2} y^{2} + 4 y + y + 2) + \frac{1}{8} (y + 2) y^{2} + 4 y + \frac{1}{2} ln \frac{y ^{2} + 4 y + y + 2}{2}

= 4 - ln (\frac{1}{2} y^{2} + 4 y + y + 2) + \frac{1}{8} (y + 2) y^{2} + 4 y + \frac{1}{2} ln \frac{y ^{2} + 4 y + y + 2}{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 - ln (\frac{1}{2} y^{2} + 4 y + y + 2) + \frac{1}{8} (y + 2) y^{2} + 4 y + \frac{1}{2} ln \frac{y ^{2} + 4 y + y + 2}{2} + C

\int sin^{3} (r) cos^{6} (r) d r

\int e^{- 2 x + 18} d x

\int x^{2} x^{3} - 24 d x

\int (1 + 2 e^{t a n (y)}) sec^{2} (y) d y

\int \frac{1}{( x - x ^{\frac{1}{3}} )} d x