integral of (y^3-y^2+1)/((y^2+2y+2)^2)

解

\int \frac{y ^{3} - y ^{2} + 1}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}} d y

\frac{1}{2} ln y^{2} + 2 y + 2 - \frac{5}{2} arctan (y + 1) + \frac{7}{4} sin (2 arctan (y + 1)) - \frac{2}{y ^{2} + 2 y + 2} - \frac{2 ( y + 1 )}{y ^{2} + 2 y + 2} + C

解答ステップ

\int \frac{y ^{3} - y ^{2} + 1}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{y ^{3} - y ^{2} + 1}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}} : \frac{y - 3}{y ^{2} + 2 y + 2} + \frac{4 y + 7}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}}

= \int \frac{y - 3}{y ^{2} + 2 y + 2} + \frac{4 y + 7}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y - 3}{y ^{2} + 2 y + 2} d y + \int \frac{4 y + 7}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}} d y

\int \frac{y - 3}{y ^{2} + 2 y + 2} d y = \frac{1}{2} ln y^{2} + 2 y + 2 - 4 arctan (y + 1)

\int \frac{4 y + 7}{( y ^{2} + 2 y + 2 ) ^{2}} d y = \frac{3}{2} arctan (y + 1) + \frac{7}{4} sin (2 arctan (y + 1)) - \frac{2}{y ^{2} + 2 y + 2} - \frac{2 ( y + 1 )}{y ^{2} + 2 y + 2}

= \frac{1}{2} ln y^{2} + 2 y + 2 - 4 arctan (y + 1) + \frac{3}{2} arctan (y + 1) + \frac{7}{4} sin (2 arctan (y + 1)) - \frac{2}{y ^{2} + 2 y + 2} - \frac{2 ( y + 1 )}{y ^{2} + 2 y + 2}

類似した元を足す:

- 4 arctan (y + 1) + \frac{3}{2} arctan (y + 1) = - \frac{5}{2} arctan (y + 1)

= \frac{1}{2} ln y^{2} + 2 y + 2 - \frac{5}{2} arctan (y + 1) + \frac{7}{4} sin (2 arctan (y + 1)) - \frac{2}{y ^{2} + 2 y + 2} - \frac{2 ( y + 1 )}{y ^{2} + 2 y + 2}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln y^{2} + 2 y + 2 - \frac{5}{2} arctan (y + 1) + \frac{7}{4} sin (2 arctan (y + 1)) - \frac{2}{y ^{2} + 2 y + 2} - \frac{2 ( y + 1 )}{y ^{2} + 2 y + 2} + C