интеграл от sqrt(x)sqrt(2-x)

Решение

\int x 2 - x d x

\frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

Шаги решения

\int x 2 - x d x

Примените правило возведения в степень:

a^{n} \cdot b^{n} = (a \cdot b)^{n}

x 2 - x = x (2 - x)

= \int x (2 - x) d x

Заполните квадрат

x (2 - x) : - (x - 1)^{2} + 1

= \int - (x - 1)^{2} + 1 d x

Применить подстановку интеграла

= \int - u^{2} + 1 d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \int cos^{2} (v) d v

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1)))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C