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integral of xe^{-(ax+b)^2}

Lösung

\int x e^{- (a x + b)^{2}} d x

Lösung

\frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2} e^{- a^{2} x^{2} - 2 ab x - b^{2}} - \frac{π}{2} b erf (a x + b)) + C

Schritte zur Lösung

\int x e^{- (a x + b)^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{- u^{2}} ( u - b )}{a ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int e^{- u^{2}} (u - b) d u

Multipliziere aus

e^{- u^{2}} (u - b) : e^{- u^{2}} u - b e^{- u^{2}}

= \frac{1}{a ^{2}} \cdot \int e^{- u^{2}} u - b e^{- u^{2}} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a ^{2}} (\int e^{- u^{2}} u d u - \int b e^{- u^{2}} d u)

\int e^{- u^{2}} u d u = - \frac{1}{2} e^{- u^{2}}

\int b e^{- u^{2}} d u = b \frac{π}{2} erf (u)

= \frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2} e^{- u^{2}} - b \frac{π}{2} erf (u))

Setze in

u = a x + b

ein

= \frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2} e^{- (a x + b)^{2}} - b \frac{π}{2} erf (a x + b))

Multipliziere aus

- (a x + b)^{2} : - a^{2} x^{2} - 2 ab x - b^{2}

= \frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2} e^{- a^{2} x^{2} - 2 ab x - b^{2}} - \frac{π}{2} b erf (a x + b))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{a ^{2}} (- \frac{1}{2} e^{- a^{2} x^{2} - 2 ab x - b^{2}} - \frac{π}{2} b erf (a x + b)) + C

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