(\partial)/(\partial x)((w^Te^{-w^Tx})/((1+e^{-w^Tx))^2})

解

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{w ^{T} e ^{- w^{T} x}}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}})

\frac{e ^{- 2 x w^{T}} w ^{2 T} ( - e ^{x w^{T}} + 1 )}{( 1 + e ^{- x w^{T}} ) ^{3}}

解答ステップ

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{w ^{T} e ^{- w^{T} x}}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}})

w, T

を定数として扱う

定数を除去:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= w^{T} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{e ^{- w^{T} x}}{( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2}})

商の法則を適用:

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - g ^{'} \cdot f}{g ^{2}}

= w^{T} \frac{\frac{\partial}{\partial x} ( e ^{- w^{T} x} ) ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} - \frac{\partial}{\partial x} ( ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} ) e ^{- w^{T} x}}{( ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} ) ^{2}}

\frac{\partial}{\partial x} (e^{- w^{T} x}) = - w^{T} e^{- w^{T} x}

\frac{\partial}{\partial x} ((1 + e^{- w^{T} x})^{2}) = - 2 w^{T} e^{- w^{T} x} (1 + e^{- w^{T} x})

= w^{T} \frac{( - w ^{T} e ^{- w^{T} x} ) ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} - ( - 2 w ^{T} e ^{- w^{T} x} ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ) e ^{- w^{T} x}}{( ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} ) ^{2}}

簡素化

w^{T} \frac{( - w ^{T} e ^{- w^{T} x} ) ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} - ( - 2 w ^{T} e ^{- w^{T} x} ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ) e ^{- w^{T} x}}{( ( 1 + e ^{- w^{T} x} ) ^{2} ) ^{2}} : \frac{e ^{- 2 x w^{T}} w ^{2 T} ( - e ^{x w^{T}} + 1 )}{( 1 + e ^{- x w^{T}} ) ^{3}}

= \frac{e ^{- 2 x w^{T}} w ^{2 T} ( - e ^{x w^{T}} + 1 )}{( 1 + e ^{- x w^{T}} ) ^{3}}