integral of (4x+2)e^{2x}

解

\int (4 x + 2) e^{2 x} d x

2 e^{2 x} x + C

解答ステップ

\int (4 x + 2) e^{2 x} d x

(4 x + 2) e^{2 x} = 2 (2 x + 1) e^{2 x}

= \int 2 (2 x + 1) e^{2 x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int (2 x + 1) e^{2 x} d x

部分積分を適用する

= 2 (e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} - \int e^{2 x} d x)

\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x}

= 2 (e^{2 x} x + \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x})

類似した元を足す:

\frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{2 x} = 0

= 2 e^{2 x} x

定数を解答に追加する

= 2 e^{2 x} x + C