integral of cos^3(x/2)sin^2(x/2)

Lösung

\int cos^{3} (\frac{x}{2}) sin^{2} (\frac{x}{2}) d x

2 (\frac{sin ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3} - \frac{sin ^{5} ( \frac{x}{2} )}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{3} (\frac{x}{2}) sin^{2} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int cos^{3} (u) sin^{2} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int cos^{3} (u) sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (1 - sin^{2} (u)) cos (u) sin^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int v^{2} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

v^{2} (1 - v^{2}) : v^{2} - v^{4}

= 2 \cdot \int v^{2} - v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int v^{2} d v - \int v^{4} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= 2 (\frac{v ^{3}}{3} - \frac{v ^{5}}{5})

Ersetze zurück

= 2 (\frac{sin ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3} - \frac{sin ^{5} ( \frac{x}{2} )}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (\frac{sin ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3} - \frac{sin ^{5} ( \frac{x}{2} )}{5}) + C

l a pl a ce t r an s f or m t^{2} + 1

d er i v a t i v e y = sec (x) - 6 cos (x)

d er i v a t i v e y = x^{8} + 7 x^{6} - 5 x + 4

\frac{d}{d x} (sin^{2} (x - 1))

\int (2 x^{2} - 1) (2 x^{3} - 3 x + 9)^{\frac{1}{3}} d x