integral of (x^4+x^2-1)/(x-1)

解

\int \frac{x ^{4} + x ^{2} - 1}{x - 1} d x

\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 3 x + ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2 + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{4} + x ^{2} - 1}{x - 1} d x

拡張

\frac{x ^{4} + x ^{2} - 1}{x - 1} : \frac{x ^{4}}{x - 1} + \frac{x ^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{4}}{x - 1} d x + \int \frac{x ^{2}}{x - 1} d x - \int \frac{1}{x - 1} d x

\int \frac{x ^{4}}{x - 1} d x = \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + x + ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{x ^{2}}{x - 1} d x = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + 2 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣

\int \frac{1}{x - 1} d x = ln ∣ x - 1 ∣

= \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + x + ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + 2 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x - 1 ∣

簡素化

\frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + x + ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{( x - 1 ) ^{2}}{2} + 2 (x - 1) + ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x - 1 ∣ : \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 3 x + ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2

= \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 3 x + ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{4}}{4} + \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 3 x + ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - 2 + C