integral of (xarctan(x))/((1+x^2)^2)

Lösung

\int \frac{x arctan ( x )}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x arctan ( x )}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u tan ( u )}{sec ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{2} u sin (2 u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int u sin (2 u) d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u cos (2 u) - \int - \frac{1}{2} cos (2 u) d u)

\int - \frac{1}{2} cos (2 u) d u = - \frac{1}{4} sin (2 u)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u cos (2 u) - (- \frac{1}{4} sin (2 u)))

Setze in

u = arctan (x)

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) - (- \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))))

Vereinfache

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} arctan (x) cos (2 arctan (x)) + \frac{1}{4} sin (2 arctan (x))) + C

\int_{0}^{1} 2 π (x + 8) x^{2} d x

x \to - 2 lim (- 3 x^{2} - 6 x + 4)

d er i v a t i v e sin (5) x^{2}

\frac{d}{d x} (\frac{3 x - 5}{2 x + 4})

\frac{d y}{d x} = 8 y e^{x + 10}