integral de 1/(sqrt(2pi))e^{(x^2)/2}

Solução

\int \frac{1}{2 π} e^{\frac{x ^{2}}{2}} d x

\frac{1}{2} erfi (\frac{x}{2}) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{2 π} e^{\frac{x ^{2}}{2}} d x

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 π} \cdot \int e^{\frac{x ^{2}}{2}} d x

2 π = 2^{\frac{1}{2}} π^{\frac{1}{2}}

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{\frac{x ^{2}}{2}} d x

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{x ^{2}}{2} = (\frac{x}{2})^{2}

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{(\frac{x}{2})^{2}} d x

Aplicar integração por substituição

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} \cdot \int e^{u^{2}} 2 d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \cdot \int e^{u^{2}} d u

Esta é uma integral não elementar:

\int e^{u^{2}} d u = \frac{π}{2} erfi (u)

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \frac{π}{2} erfi (u)

Substituir na equação

u = \frac{x}{2}

= \frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \frac{π}{2} erfi (\frac{x}{2})

Simplificar

\frac{1}{2 ^{\frac{1}{2}} π ^{\frac{1}{2}}} 2 \frac{π}{2} erfi (\frac{x}{2}) : \frac{1}{2} erfi (\frac{x}{2})

= \frac{1}{2} erfi (\frac{x}{2})

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{2} erfi (\frac{x}{2}) + C

x \to 3 - lim (ln (x^{2} - 9))

\frac{d}{d x} (sin (x) + x \cdot cos (x))

\frac{d}{d x} (x^{2} y - x)

\int (cos (5 x) cos (3 x)) d x

\int_{0}^{1} x - x^{3} d x