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cos^2(x)=sin^2(x)-(sqrt(2))/2

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Lösung

cos2(x)=sin2(x)−22​​

Lösung

x=1.17809…+2πn,x=π−1.17809…+2πn,x=−1.17809…+2πn,x=π+1.17809…+2πn
+1
Grad
x=67.5∘+360∘n,x=112.5∘+360∘n,x=−67.5∘+360∘n,x=247.5∘+360∘n
Schritte zur Lösung
cos2(x)=sin2(x)−22​​
Subtrahiere sin2(x)−22​​ von beiden Seitencos2(x)−sin2(x)+2​1​=0
Vereinfache cos2(x)−sin2(x)+2​1​:2​2​cos2(x)−2​sin2(x)+1​
cos2(x)−sin2(x)+2​1​
Wandle das Element in einen Bruch um: cos2(x)=2​cos2(x)2​​,sin2(x)=2​sin2(x)2​​=2​cos2(x)2​​−2​sin2(x)2​​+2​1​
Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.: ca​±cb​=ca±b​=2​cos2(x)2​−sin2(x)2​+1​
2​2​cos2(x)−2​sin2(x)+1​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=02​cos2(x)−2​sin2(x)+1=0
Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten
1+cos2(x)2​−sin2(x)2​
Verwende die Pythagoreische Identität: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=1+(1−sin2(x))2​−sin2(x)2​
Vereinfache 1+(1−sin2(x))2​−sin2(x)2​:1+2​−22​sin2(x)
1+(1−sin2(x))2​−sin2(x)2​
=1+2​(1−sin2(x))−2​sin2(x)
Multipliziere aus 2​(1−sin2(x)):2​−2​sin2(x)
2​(1−sin2(x))
Wende das Distributivgesetz an: a(b−c)=ab−aca=2​,b=1,c=sin2(x)=2​⋅1−2​sin2(x)
=1⋅2​−2​sin2(x)
Multipliziere: 1⋅2​=2​=2​−2​sin2(x)
=1+2​−2​sin2(x)−sin2(x)2​
Addiere gleiche Elemente: −2​sin2(x)−2​sin2(x)=−22​sin2(x)=1+2​−22​sin2(x)
=1+2​−22​sin2(x)
1+2​−2sin2(x)2​=0
Löse mit Substitution
1+2​−2sin2(x)2​=0
Angenommen: sin(x)=u1+2​−2u22​=0
1+2​−2u22​=0:u=22​+2​​,u=−22​+2​​
1+2​−2u22​=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
1+2​−2u22​=0
Subtrahiere 1 von beiden Seiten1+2​−2u22​−1=0−1
Vereinfache2​−2u22​=−1
2​−2u22​=−1
Verschiebe 2​auf die rechte Seite
2​−2u22​=−1
Subtrahiere 2​ von beiden Seiten2​−2u22​−2​=−1−2​
Vereinfache−2u22​=−1−2​
−2u22​=−1−2​
Teile beide Seiten durch −22​
−2u22​=−1−2​
Teile beide Seiten durch −22​−22​−2u22​​=−−22​1​−−22​2​​
Vereinfache
−22​−2u22​​=−−22​1​−−22​2​​
Vereinfache −22​−2u22​​:u2
−22​−2u22​​
Wende Bruchregel an: −b−a​=ba​=22​2u22​​
Teile die Zahlen: 22​=1=2​2​u2​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 2​=u2
Vereinfache −−22​1​−−22​2​​:42​+2​
−−22​1​−−22​2​​
Wende Regel an ca​±cb​=ca±b​=−22​−1−2​​
Wende Bruchregel an: −b−a​=ba​−1−2​=−(1+2​)=22​1+2​​
Rationalisiere 22​1+2​​:222+2​​
22​1+2​​
Multipliziere mit dem Konjugat 2​2​​=22​2​(1+2​)2​​
(1+2​)2​=2​+2
(1+2​)2​
=2​(1+2​)
Wende das Distributivgesetz an: a(b+c)=ab+aca=2​,b=1,c=2​=2​⋅1+2​2​
=1⋅2​+2​2​
Vereinfache 1⋅2​+2​2​:2​+2
1⋅2​+2​2​
Multipliziere: 1⋅2​=2​=2​+2​2​
Wende Radikal Regel an: a​a​=a2​2​=2=2​+2
=2​+2
22​2​=22
22​2​
Wende Exponentenregel an: ab⋅ac=ab+c22​2​=2⋅221​⋅221​=21+21​+21​=21+21​+21​
Addiere gleiche Elemente: 21​+21​=2⋅21​=21+2⋅21​
2⋅21​=1
2⋅21​
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 2=1
=21+1
Addiere die Zahlen: 1+1=2=22
=222​+2​
=222​+2​
22=4=42​+2​
u2=42​+2​
u2=42​+2​
u2=42​+2​
Für x2=f(a) sind die Lösungen x=f(a)​,−f(a)​
u=42​+2​​,u=−42​+2​​
42​+2​​=22​+2​​
42​+2​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥0=4​2​+2​​
4​=2
4​
Faktorisiere die Zahl: 4=22=22​
Wende Radikal Regel an: nan​=a22​=2=2
=22​+2​​
−42​+2​​=−22​+2​​
−42​+2​​
Vereinfache 42​+2​​:22​+2​​
42​+2​​
Wende Radikal Regel an: nba​​=nb​na​​, angenommen a≥0,b≥0=4​2​+2​​
4​=2
4​
Faktorisiere die Zahl: 4=22=22​
Wende Radikal Regel an: nan​=a22​=2=2
=22​+2​​
=−22+2​​​
=−22​+2​​
u=22​+2​​,u=−22​+2​​
Setze in u=sin(x)einsin(x)=22​+2​​,sin(x)=−22​+2​​
sin(x)=22​+2​​,sin(x)=−22​+2​​
sin(x)=22​+2​​:x=arcsin(22​+2​​)+2πn,x=π−arcsin(22​+2​​)+2πn
sin(x)=22​+2​​
Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an
sin(x)=22​+2​​
Allgemeine Lösung für sin(x)=22​+2​​sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πnx=arcsin(22​+2​​)+2πn,x=π−arcsin(22​+2​​)+2πn
x=arcsin(22​+2​​)+2πn,x=π−arcsin(22​+2​​)+2πn
sin(x)=−22​+2​​:x=arcsin(−22​+2​​)+2πn,x=π+arcsin(22​+2​​)+2πn
sin(x)=−22​+2​​
Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an
sin(x)=−22​+2​​
Allgemeine Lösung für sin(x)=−22​+2​​sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin(−22​+2​​)+2πn,x=π+arcsin(22​+2​​)+2πn
x=arcsin(−22​+2​​)+2πn,x=π+arcsin(22​+2​​)+2πn
Kombiniere alle Lösungenx=arcsin(22​+2​​)+2πn,x=π−arcsin(22​+2​​)+2πn,x=arcsin(−22​+2​​)+2πn,x=π+arcsin(22​+2​​)+2πn
Zeige Lösungen in Dezimalform x=1.17809…+2πn,x=π−1.17809…+2πn,x=−1.17809…+2πn,x=π+1.17809…+2πn

Graph

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