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Popolare Trigonometria >

tan(θ)+cot(θ)=4sin(2θ)

Soluzione

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

Soluzione

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Gradi

θ = 22. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 67. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 112. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 157. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

Sottrarre

4 sin (2 θ)

da entrambi i lati

tan (θ) + cot (θ) - 4 sin (2 θ) = 0

Esprimere con sen e cos

cot (θ) + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

Semplifica

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ) : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

Converti l'elemento in frazione:

4 sin (2 θ) = \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

Minimo Comune Multiplo di

sin (θ), cos (θ), 1 : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ), 1

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcola un espressione composta da fattori che appaiono almeno in una delle espressioni scomposte

= sin (θ) cos (θ)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

sin (θ) cos (θ)

Per

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Per

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Per

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

sin (θ) cos (θ)

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{1 \cdot sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ( θ ) sin ( 2 θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) + 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 - 4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ) = 2 sin^{2} (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 θ ) \cdot 4 sin ( 2 θ )}{2}

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ) = 4 sin^{2} (2 θ)

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (2 θ) sin (2 θ) = sin^{1 + 1} (2 θ)

= 4 sin^{1 + 1} (2 θ)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 4 sin^{2} (2 θ)

= \frac{4 sin ^{2} ( 2 θ )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin^{2} (2 θ)

= 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Risolvi per sostituzione

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Sia:

sin (2 θ) = u

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - 2 u^{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Semplificare

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (2 θ)

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Risolvi

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn : θ = \frac{π}{8} + πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{8} + πn

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{8}

\frac{\frac{π}{4}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

Risolvi

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{3 π}{8} + πn

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{8} + πn

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} = \frac{3 π}{8}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{4 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{3 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Risolvi

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{5 π}{8} + πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{8} + πn

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} = \frac{5 π}{8}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{4 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

Risolvi

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{7 π}{8} + πn

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{7 π}{8} + πn

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} = \frac{7 π}{8}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{4 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{7 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Grafico

Esempi popolari

2cos^2(θ)-7cos(θ)+3=0

2 cos^{2} (θ) - 7 cos (θ) + 3 = 0

sin(x)=0,0<= x<= 2pi

sin (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

tan(x)sin(x)-4tan(x)=-3tan(x)

tan (x) sin (x) - 4 tan (x) = - 3 tan (x)

7tan(x)sin(x)-2sin(x)=0

7 tan (x) sin (x) - 2 sin (x) = 0

5sec(x)+5tan(x)=5

5 sec (x) + 5 tan (x) = 5