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人気のある三角関数 >

cot(θ)+5csc(θ)=6

解

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

解

θ = 1.13005 \dots + 2 πn, θ = 2.34183 \dots + 2 πn

+1

度

θ = 64.74731 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 134.17732 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

両辺から

6

を引く

cot (θ) + 5 csc (θ) - 6 = 0

サイン, コサインで表わす

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 = 0

簡素化

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 : \frac{cos ( θ ) + 5 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{5}{sin ( θ )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{sin ( θ )}

数を乗じる:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{5}{sin ( θ )} - 6

分数を組み合わせる

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{5}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )} - 6

元を分数に変換する:

6 = \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )} - \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 5 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 5 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 5 - 6 sin (θ) = 0

両辺に

6 sin (θ)

を足す

cos (θ) + 5 = 6 sin (θ)

両辺を2乗する

(cos (θ) + 5)^{2} = (6 sin (θ))^{2}

両辺から

(6 sin (θ))^{2}

を引く

(cos (θ) + 5)^{2} - 36 sin^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

(5 + cos (θ))^{2} - 36 sin^{2} (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (5 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

簡素化

(5 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ)) : 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

(5 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(5 + cos (θ))^{2} : 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 5, b = cos (θ)

= 5^{2} + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ)

簡素化

5^{2} + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

5^{2} + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ)

5^{2} = 25

= 25 + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ)

数を乗じる:

2 \cdot 5 = 10

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 (1 - cos^{2} (θ))

拡張

- 36 (1 - cos^{2} (θ)) : - 36 + 36 cos^{2} (θ)

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) cos^{2} (θ)

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 cos^{2} (θ)

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

簡素化

25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ) : 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

条件のようなグループ

= 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) + 25 - 36

類似した元を足す:

cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) = 37 cos^{2} (θ)

= 10 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) + 25 - 36

数を足す/引く:

25 - 36 = - 11

= 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

= 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

= 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

- 11 + 10 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) = 0

置換で解く

- 11 + 10 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 11 + 10 u + 37 u^{2} = 0

- 11 + 10 u + 37 u^{2} = 0 : u = \frac{- 5 + 12 3}{37}, u = - \frac{5 + 12 3}{37}

- 11 + 10 u + 37 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} + 10 u - 11 = 0

解くとthe二次式

37 u^{2} + 10 u - 11 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 37, b = 10, c = - 11

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 11 )}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 11 )}{2 \cdot 37}

1 0^{2} - 4 \cdot 37 (- 11) = 243

1 0^{2} - 4 \cdot 37 (- 11)

規則を適用

- (- a) = a

= 1 0^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 11

数を乗じる:

4 \cdot 37 \cdot 11 = 1628

= 1 0^{2} + 1628

1 0^{2} = 100

= 100 + 1628

数を足す:

100 + 1628 = 1728

= 1728

以下の素因数分解:

1728 : 2^{6} \cdot 3^{3}

1728

172821728 = 864 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 864

8642864 = 432 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 432

4322432 = 216 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 216

2162216 = 108 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 108

1082108 = 54 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54254 = 27 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27327 = 9 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

939 = 3 \cdot 3

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

はすべて素数である。ゆえにさらに因数分解することはできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3^{3}

= 2^{6} \cdot 3^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 3 2^{6} 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3 3^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 33

改良

= 243

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 24 3}{2 \cdot 37}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 10 + 24 3}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- 10 - 24 3}{2 \cdot 37}

u = \frac{- 10 + 24 3}{2 \cdot 37} : \frac{- 5 + 12 3}{37}

\frac{- 10 + 24 3}{2 \cdot 37}

数を乗じる:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 10 + 24 3}{74}

因数

- 10 + 243 : 2 (- 5 + 123)

- 10 + 243

書き換え

= - 2 \cdot 5 + 2 \cdot 123

共通項をくくり出す

2

= 2 (- 5 + 123)

= \frac{2 ( - 5 + 12 3 )}{74}

共通因数を約分する:

2

= \frac{- 5 + 12 3}{37}

u = \frac{- 10 - 24 3}{2 \cdot 37} : - \frac{5 + 12 3}{37}

\frac{- 10 - 24 3}{2 \cdot 37}

数を乗じる:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 10 - 24 3}{74}

因数

- 10 - 243 : - 2 (5 + 123)

- 10 - 243

書き換え

= - 2 \cdot 5 - 2 \cdot 123

共通項をくくり出す

2

= - 2 (5 + 123)

= - \frac{2 ( 5 + 12 3 )}{74}

共通因数を約分する:

2

= - \frac{5 + 12 3}{37}

二次equationの解:

u = \frac{- 5 + 12 3}{37}, u = - \frac{5 + 12 3}{37}

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}, cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}, cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37} : θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}

以下の一般解

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37} : θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

以下の一般解

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

真

arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

6 = 6

\Rightarrow 真

解答を確認する

2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

偽

2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

- 6 = 6

\Rightarrow 偽

解答を確認する

arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

6 = 6

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

の挿入向け

θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

改良

- 6 = 6

\Rightarrow 偽

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

θ = 1.13005 \dots + 2 πn, θ = 2.34183 \dots + 2 πn

グラフ

人気の例

sqrt(3)csc^2(x)+2csc(x)=0

3 csc^{2} (x) + 2 csc (x) = 0

7sin(2x)sin(x)=7cos(x)

7 sin (2 x) sin (x) = 7 cos (x)

csc(x)+cot(x)=3

csc (x) + cot (x) = 3

sin^2(x)-sin(x)+1=cos^2(x)

sin^{2} (x) - sin (x) + 1 = cos^{2} (x)

sin(x/2)=(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{2}