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Beliebt Trigonometrie >

5cos(2θ)=15cos(θ)-10

Lösung

5 cos (2 θ) = 15 cos (θ) - 10

Lösung

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (2 θ) = 15 cos (θ) - 10

Subtrahiere

15 cos (θ) - 10

von beiden Seiten

5 cos (2 θ) - 15 cos (θ) + 10 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

10 - 15 cos (θ) + 5 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 10 - 15 cos (θ) + 5 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

10 - 15 cos (θ) + 5 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) + 5

10 - 15 cos (θ) + 5 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

5 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 10 cos^{2} (θ) - 5

5 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 5 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1

Vereinfache

5 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1 : 10 cos^{2} (θ) - 5

5 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 10 cos^{2} (θ) - 5 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 10 cos^{2} (θ) - 5

= 10 cos^{2} (θ) - 5

= 10 - 15 cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) - 5

Vereinfache

10 - 15 cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) - 5 : 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) + 5

10 - 15 cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) - 5

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 15 cos (θ) + 10 cos^{2} (θ) + 10 - 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

10 - 5 = 5

= 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) + 5

= 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) + 5

= 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) + 5

5 + 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

5 + 10 cos^{2} (θ) - 15 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

5 + 10 u^{2} - 15 u = 0

5 + 10 u^{2} - 15 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

5 + 10 u^{2} - 15 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 15 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} - 15 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = - 15, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 15 ) \pm ( - 15 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 5}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 15 ) \pm ( - 15 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 5}{2 \cdot 10}

(- 15)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 5 = 5

(- 15)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 15)^{2} = 1 5^{2}

= 1 5^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 1 5^{2} - 200

1 5^{2} = 225

= 225 - 200

Subtrahiere die Zahlen:

225 - 200 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 15 ) \pm 5}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 15 ) + 5}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 15 ) - 5}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 15 ) + 5}{2 \cdot 10} : 1

\frac{- ( - 15 ) + 5}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{15 + 5}{2 \cdot 10}

Addiere die Zahlen:

15 + 5 = 20

= \frac{20}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{20}{20}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 15 ) - 5}{2 \cdot 10} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 15 ) - 5}{2 \cdot 10}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{15 - 5}{2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

15 - 5 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{10}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)=1+sin^2(x)

cos^{2} (x) = 1 + sin^{2} (x)

2cos^2(x)+cos(x)=0,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) + cos (x) = 0, 0 \leq x \leq 2 π

sin^2(x)-2cos(x)=2

sin^{2} (x) - 2 cos (x) = 2

2cos(θ)-sin(θ)=0

2 cos (θ) - sin (θ) = 0

cos(x+pi/6)=sin(x)

cos (x + \frac{π}{6}) = sin (x)