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Beliebt Trigonometrie >

-2sin(θ)+cos(2θ)=1

Lösung

- 2 sin (θ) + cos (2 θ) = 1

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 2 sin (θ) + cos (2 θ) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

- 2 sin (θ) + cos (2 θ) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 θ) - 2 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 1 - 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

Vereinfache

= - 2 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ)

- 2 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 2 u - 2 u^{2} = 0

- 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- 2 u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 0}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 0

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = - 1, sin (θ) = 0

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x+60)=sin(3x)

cos (2 x + 60) = sin (3 x)

csc(θ)=-3/2

csc (θ) = - \frac{3}{2}

4cos(θ)=0

4 cos (θ) = 0

(sin(160))/5 =(sin(c))/4

\frac{sin ( 16 0 ^{\circ} )}{5} = \frac{sin ( c )}{4}

sin(x)+sqrt(2)=0

sin (x) + 2 = 0