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Beliebt Trigonometrie >

7cos(x)-24sin(x)=10

Lösung

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

Lösung

x = π + 0.69531 \dots + 2 πn, x = - 0.12772 \dots + 2 πn

Grad

x = 219.83838 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 7.31797 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

Füge

24 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

7 cos (x) = 10 + 24 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(7 cos (x))^{2} = (10 + 24 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(10 + 24 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

49 cos^{2} (x) - 100 - 480 sin (x) - 576 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 100 - 480 sin (x) + 49 cos^{2} (x) - 576 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 100 - 480 sin (x) + 49 (1 - sin^{2} (x)) - 576 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 100 - 480 sin (x) + 49 (1 - sin^{2} (x)) - 576 sin^{2} (x) : - 625 sin^{2} (x) - 480 sin (x) - 51

- 100 - 480 sin (x) + 49 (1 - sin^{2} (x)) - 576 sin^{2} (x)

Multipliziere aus

49 (1 - sin^{2} (x)) : 49 - 49 sin^{2} (x)

49 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 49, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 49 \cdot 1 - 49 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

49 \cdot 1 = 49

= 49 - 49 sin^{2} (x)

= - 100 - 480 sin (x) + 49 - 49 sin^{2} (x) - 576 sin^{2} (x)

Vereinfache

- 100 - 480 sin (x) + 49 - 49 sin^{2} (x) - 576 sin^{2} (x) : - 625 sin^{2} (x) - 480 sin (x) - 51

- 100 - 480 sin (x) + 49 - 49 sin^{2} (x) - 576 sin^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 49 sin^{2} (x) - 576 sin^{2} (x) = - 625 sin^{2} (x)

= - 100 - 480 sin (x) + 49 - 625 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 480 sin (x) - 625 sin^{2} (x) - 100 + 49

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 100 + 49 = - 51

= - 625 sin^{2} (x) - 480 sin (x) - 51

= - 625 sin^{2} (x) - 480 sin (x) - 51

= - 625 sin^{2} (x) - 480 sin (x) - 51

- 51 - 480 sin (x) - 625 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 51 - 480 sin (x) - 625 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 51 - 480 u - 625 u^{2} = 0

- 51 - 480 u - 625 u^{2} = 0 : u = - \frac{48 + 7 21}{125}, u = - \frac{48 - 7 21}{125}

- 51 - 480 u - 625 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 625 u^{2} - 480 u - 51 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 625 u^{2} - 480 u - 51 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 625, b = - 480, c = - 51

u_{1, 2} = \frac{- ( - 480 ) \pm ( - 480 ) ^{2} - 4 ( - 625 ) ( - 51 )}{2 ( - 625 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 480 ) \pm ( - 480 ) ^{2} - 4 ( - 625 ) ( - 51 )}{2 ( - 625 )}

(- 480)^{2} - 4 (- 625) (- 51) = 7021

(- 480)^{2} - 4 (- 625) (- 51)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 480)^{2} - 4 \cdot 625 \cdot 51

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 480)^{2} = 48 0^{2}

= 48 0^{2} - 4 \cdot 625 \cdot 51

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 625 \cdot 51 = 127500

= 48 0^{2} - 127500

48 0^{2} = 230400

= 230400 - 127500

Subtrahiere die Zahlen:

230400 - 127500 = 102900

= 102900

Primfaktorzerlegung von

102900 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7^{3}

102900

= 7^{3} \cdot 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 5^{2} 7^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 5^{2} 7^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 2 \cdot 5 7^{2} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 2 \cdot 5 \cdot 7 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 7021

u_{1, 2} = \frac{- ( - 480 ) \pm 70 21}{2 ( - 625 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 480 ) + 70 21}{2 ( - 625 )}, u_{2} = \frac{- ( - 480 ) - 70 21}{2 ( - 625 )}

u = \frac{- ( - 480 ) + 70 21}{2 ( - 625 )} : - \frac{48 + 7 21}{125}

\frac{- ( - 480 ) + 70 21}{2 ( - 625 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{480 + 70 21}{- 2 \cdot 625}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 625 = 1250

= \frac{480 + 70 21}{- 1250}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{480 + 70 21}{1250}

Streiche

\frac{480 + 70 21}{1250} : \frac{48 + 7 21}{125}

\frac{480 + 70 21}{1250}

Faktorisiere

480 + 7021 : 10 (48 + 721)

480 + 7021

Schreibe um

= 10 \cdot 48 + 10 \cdot 721

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (48 + 721)

= \frac{10 ( 48 + 7 21 )}{1250}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{48 + 7 21}{125}

= - \frac{48 + 7 21}{125}

u = \frac{- ( - 480 ) - 70 21}{2 ( - 625 )} : - \frac{48 - 7 21}{125}

\frac{- ( - 480 ) - 70 21}{2 ( - 625 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{480 - 70 21}{- 2 \cdot 625}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 625 = 1250

= \frac{480 - 70 21}{- 1250}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{480 - 70 21}{1250}

Streiche

\frac{480 - 70 21}{1250} : \frac{48 - 7 21}{125}

\frac{480 - 70 21}{1250}

Faktorisiere

480 - 7021 : 10 (48 - 721)

480 - 7021

Schreibe um

= 10 \cdot 48 - 10 \cdot 721

Klammere gleiche Terme aus

10

= 10 (48 - 721)

= \frac{10 ( 48 - 7 21 )}{1250}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{48 - 7 21}{125}

= - \frac{48 - 7 21}{125}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{48 + 7 21}{125}, u = - \frac{48 - 7 21}{125}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{48 + 7 21}{125}, sin (x) = - \frac{48 - 7 21}{125}

sin (x) = - \frac{48 + 7 21}{125}, sin (x) = - \frac{48 - 7 21}{125}

sin (x) = - \frac{48 + 7 21}{125} : x = arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{48 + 7 21}{125}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{48 + 7 21}{125}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{48 + 7 21}{125}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{48 - 7 21}{125} : x = arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{48 - 7 21}{125}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{48 - 7 21}{125}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{48 - 7 21}{125}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

ein, um zu lösen

7 cos (arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1) - 24 sin (arcsin (- \frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

20.74996 \dots = 10

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

ein, um zu lösen

7 cos (π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1) - 24 sin (π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

10 = 10

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

ein, um zu lösen

7 cos (arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1) - 24 sin (arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

10 = 10

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

ein, um zu lösen

7 cos (π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1) - 24 sin (π + arcsin (\frac{48 - 7 21}{125}) + 2 π 1) = 10

Fasse zusammen

- 3.88596 \dots = 10

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{48 + 7 21}{125}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{48 - 7 21}{125}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 0.69531 \dots + 2 πn, x = - 0.12772 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(2θ)+1=2cos(θ)

4 cos (2 θ) + 1 = 2 cos (θ)

2sin^3(x)=2sin(x)

2 sin^{3} (x) = 2 sin (x)

sin^4(x)=0

sin^{4} (x) = 0

tan(θ)= 7/24

tan (θ) = \frac{7}{24}

-2sqrt(2)=-2sec(x+150)

- 22 = - 2 sec (x + 15 0^{\circ})