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Populaire Trigonométrie >

sec(2x)+tan(2x)= 1/2

Solution

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

Solution

x = - \frac{0.64350 \dots}{2} + πn

Degrés

x = - 18.43494 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

étapes des solutions

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

Soustraire

\frac{1}{2}

des deux côtés

sec (2 x) + tan (2 x) - \frac{1}{2} = 0

Simplifier

sec (2 x) + tan (2 x) - \frac{1}{2} : \frac{2 sec ( 2 x ) + 2 tan ( 2 x ) - 1}{2}

sec (2 x) + tan (2 x) - \frac{1}{2}

Convertir un élément en fraction:

sec (2 x) = \frac{sec ( 2 x ) 2}{2}, tan (2 x) = \frac{tan ( 2 x ) 2}{2}

= \frac{sec ( 2 x ) \cdot 2}{2} + \frac{tan ( 2 x ) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sec ( 2 x ) \cdot 2 + tan ( 2 x ) \cdot 2 - 1}{2}

\frac{2 sec ( 2 x ) + 2 tan ( 2 x ) - 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sec (2 x) + 2 tan (2 x) - 1 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + 2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1 = 0

Simplifier

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + 2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1 : \frac{2 + 2 sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + 2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} = \frac{2}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1

Combiner les fractions

\frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 + 2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2 sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 sin ( 2 x ) + 2}{cos ( 2 x )} - 1

Convertir un élément en fraction:

1 = \frac{1 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 + sin ( 2 x ) \cdot 2}{cos ( 2 x )} - \frac{1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x ) \cdot 2 - 1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multiplier:

1 \cdot cos (2 x) = cos (2 x)

= \frac{2 + 2 sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{2 + 2 sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 + 2 sin (2 x) - cos (2 x) = 0

Ajouter

cos (2 x)

aux deux côtés

2 + 2 sin (2 x) = cos (2 x)

Mettre les deux côtés au carré

(2 + 2 sin (2 x))^{2} = cos^{2} (2 x)

Soustraire

cos^{2} (2 x)

des deux côtés

(2 + 2 sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(2 + 2 sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 + 2 sin (2 x))^{2} - (1 - sin^{2} (2 x))

Simplifier

(2 + 2 sin (2 x))^{2} - (1 - sin^{2} (2 x)) : 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) + 3

(2 + 2 sin (2 x))^{2} - (1 - sin^{2} (2 x))

(2 + 2 sin (2 x))^{2} : 4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 2 sin (2 x)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 sin (2 x) + (2 sin (2 x))^{2}

Simplifier

2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 sin (2 x) + (2 sin (2 x))^{2} : 4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x)

2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 2 sin (2 x) + (2 sin (2 x))^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 2 sin (2 x) = 8 sin (2 x)

2 \cdot 2 \cdot 2 sin (2 x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 8 sin (2 x)

(2 sin (2 x))^{2} = 4 sin^{2} (2 x)

(2 sin (2 x))^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} sin^{2} (2 x)

2^{2} = 4

= 4 sin^{2} (2 x)

= 4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x)

= 4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x)

= 4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x) - (1 - sin^{2} (2 x))

- (1 - sin^{2} (2 x)) : - 1 + sin^{2} (2 x)

- (1 - sin^{2} (2 x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- sin^{2} (2 x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (2 x)

= 4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x) - 1 + sin^{2} (2 x)

Simplifier

4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x) - 1 + sin^{2} (2 x) : 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) + 3

4 + 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x) - 1 + sin^{2} (2 x)

Grouper comme termes

= 8 sin (2 x) + 4 sin^{2} (2 x) + sin^{2} (2 x) + 4 - 1

Additionner les éléments similaires :

4 sin^{2} (2 x) + sin^{2} (2 x) = 5 sin^{2} (2 x)

= 8 sin (2 x) + 5 sin^{2} (2 x) + 4 - 1

Additionner/Soustraire les nombres :

4 - 1 = 3

= 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) + 3

= 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) + 3

= 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) + 3

3 + 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) = 0

Résoudre par substitution

3 + 5 sin^{2} (2 x) + 8 sin (2 x) = 0

Soit :

sin (2 x) = u

3 + 5 u^{2} + 8 u = 0

3 + 5 u^{2} + 8 u = 0 : u = - \frac{3}{5}, u = - 1

3 + 5 u^{2} + 8 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

5 u^{2} + 8 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 5, b = 8, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3}{2 \cdot 5}

8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 2

8^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 8^{2} - 60

8^{2} = 64

= 64 - 60

Soustraire les nombres :

64 - 60 = 4

= 4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 2}{2 \cdot 5}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 8 + 2}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 8 - 2}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 8 + 2}{2 \cdot 5} : - \frac{3}{5}

\frac{- 8 + 2}{2 \cdot 5}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 8 + 2 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{10}

Annuler le facteur commun :

2

= - \frac{3}{5}

u = \frac{- 8 - 2}{2 \cdot 5} : - 1

\frac{- 8 - 2}{2 \cdot 5}

Soustraire les nombres :

- 8 - 2 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 5}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{10}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{3}{5}, u = - 1

Remplacer

u = sin (2 x)

sin (2 x) = - \frac{3}{5}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = - \frac{3}{5}, sin (2 x) = - 1

sin (2 x) = - \frac{3}{5} : x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{3}{5}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (2 x) = - \frac{3}{5}

Solutions générales pour

sin (2 x) = - \frac{3}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Résoudre

2 x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn : x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

2 x = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn : - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Utiliser la propriété suivante :

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{3}{5}) = - arcsin (\frac{3}{5})

= - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

2 x = - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

Résoudre

2 x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

2 x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

sin (2 x) = - 1 : x = \frac{3 π}{4} + πn

sin (2 x) = - 1

Solutions générales pour

sin (2 x) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Résoudre

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Simplifier

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= x

Simplifier

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

Combiner toutes les solutions

x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

- \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn :

vrai

- \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

Insérer

n = 1

- \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1

Pour

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

insérer

x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1

sec (2 (- \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1)) + tan (2 (- \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1)) = \frac{1}{2}

Redéfinir

0.5 = 0.5

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn :

Faux

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1

Pour

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

insérer

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1

sec (2 (\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1)) + tan (2 (\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + π 1)) = \frac{1}{2}

Redéfinir

- 0.5 = 0.5

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

\frac{3 π}{4} + πn :

Faux

\frac{3 π}{4} + πn

Insérer

n = 1

\frac{3 π}{4} + π 1

Pour

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

insérer

x = \frac{3 π}{4} + π 1

sec (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) + tan (2 (\frac{3 π}{4} + π 1)) = \frac{1}{2}

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

x = - \frac{arcsin ( \frac{3}{5} )}{2} + πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = - \frac{0.64350 \dots}{2} + πn

Graphe

Exemples populaires

2/(tan(a)+cot(a))=2sin(a)

\frac{2}{tan ( a ) + cot ( a )} = 2 sin (a)

2sin^2(w)+3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) + 3 sin (w) + 1 = 0

tan(x)-2tan(x)cos(x)=0

tan (x) - 2 tan (x) cos (x) = 0

-7cos(7x)=0

- 7 cos (7 x) = 0

1-4sin^2(x)=0

1 - 4 sin^{2} (x) = 0